Le fondement : Continuité de Lipschitz
Pour contrôler la propagation des erreurs, nous avons besoin d'une fonction $f(t, y)$ qui ne « saute » pas trop violemment. Cela est formalisé par la Condition de Lipschitz.
Une fonction $f(t, y)$ satisfait une condition de Lipschitz en la variable $y$ sur un ensemble $D \subset \mathbb{R}^2$ s'il existe une constante $L > 0$ telle que :
$$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| \le L|y_1 - y_2|$$
pour tout $(t, y_1), (t, y_2) \in D$. Cette constante $L$ est la « limite de vitesse » pour le changement vertical de la fonction.
Exemple 1 : Analyse des constantes de Lipschitz
Considérons $f(t, y) = t|y|$ sur $D = \{(t, y) \mid 1 \le t \le 2, -3 \le y \le 4\}$. D'après le théorème des accroissements finis (ou les propriétés des valeurs absolues) :
$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| = |t|y_1| - t|y_2|| = |t| \cdot ||y_1| - |y_2|| \le |t| \cdot |y_1 - y_2|$.
Comme la valeur maximale de $t$ dans notre domaine est 2, la constante de Lipschitz est $L=2$.
Intégrité géométrique du domaine
Nous ne pouvons pas résoudre un PVI dans un domaine criblé de trous. Nous exigeons La convexité.
Un ensemble $D$ est convexe si, pour tout couple de points $(t_1, y_1)$ et $(t_2, y_2)$, le segment défini par :
$$((1 - \lambda)t_1 + \lambda t_2, (1 - \lambda)y_1 + \lambda y_2)$$
pour $\lambda \in [0, 1]$ est également contenu dans $D$. Cela garantit qu’aucune partie du chemin de solution « sort » de la zone de calcul valide.
Théorème d'existence et d'unicité
Lorsque ces conditions sont réunies, nous invoquons Théorème 5.4: Si $f$ est continue et satisfait une condition de Lipschitz sur un ensemble convexe $D$, alors le PVI $y' = f(t, y), y(a) = \alpha$ admet une solution unique solution $y(t)$. Cela justifie les méthodes aussi simples que l'Euler ($w_{i+1} = w_i + h f(t_i, w_i)$) ou aussi complexes que la logique prédicteur-correcteur :
$WC = w_{i-1} + \frac{h}{24}[9f(t_i, WP) + 19f(t_{i-1}, w_{i-1}) - 5f(t_{i-2}, w_{i-2}) + f(t_{i-3}, w_{i-3})]$.